角的平分线的判定

第2课时 角的平分线的判定

【知识与技能】

1.掌握角的平分线的判定.

2.会利用三角形角平分线的性质.

【过程与方法】

通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.

【情感态度】

锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.

【教学重点】

角平分线的判定.

【教学难点】

三角形的内角平分线的应用.

一、情境导入，初步认识

问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？

【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上.

二、思考探究，获取新知

三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？

例1  如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数.

【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.

解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD,

∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.

∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=125°.

【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质.

例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S△DCE=S△DBF，求证：AD平分∠BAC.

【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC.

【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N.

∵S△DCE=S△DBF,即CE·DN=BF·DM.

又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.

例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=BD.求证：BD是∠ABC的平分线.

【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可.

【证明】延长AE、BC交于点F.

∵AE⊥BD,∠ACB=90°,

∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,

即∠2=∠FAC.

在△BDC与△AFC中，

,

∴△BDC≌△AFC(ASA),

∴BD=AF.

又∵AE=BD,∴AE=AF,

∴AE=EF.

在△ABE和△FBE中，

,

∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2.

即BD是∠ABC的平分线.

例4  (青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：

方案一：∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P置于射线OA,OB之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

方案二：∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；

（2）方案一中，在PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.

解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行.

证明：在△OPM和△OPN中，

∴△OPM≌△OPN(SSS).

∴∠AOP=∠BOP.

∴OP是∠AOB的平分线.

（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角平分线上，∴OP是∠AOB的平分线.

三、运用新知，深化理解

1.如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=________.

第1题图             第2题图

2.如图，以△ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE,CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.

【答案】1.150°

2.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.

∵△ABD、△ACE是等边三角形，

∴AD=AB,AE=AC,

∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠BAE,

∴△DAC≌△BAE，

∴DC=BE,

又∵S△DAC=S△BAE,

∴AM=AN.

又∵AM⊥DC,AN⊥BE,

∴OA平分∠DOE.

四、师生互动，课堂小结

1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.

2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.

3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.

4.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.

1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.

2.完成练习册中本课时的练习.

本课时教学应重视以下几点；

1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.

2.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.